學生趣味玩數學-數字卡找因數
臺中市國民教育輔導團國小數學領域輔導員
鍾欣男、王士信、魏麗枝、陳國竣
因數是學童到五年級才第一次接觸的新名詞，學童常因未能充分理解其意義，而致學習意願及接受程度低落，因數與倍數對於學童學習等值分數、分數加減、分數乘除、比例概念等課程，具有重要的地位，學生如在因數概念的學習遭遇瓶頸，導致往後的數學學習產生先備知識不足的問題，而對其相關的教材產生挫敗感以及排斥其學習。
因數及公因數概念的建立及解題能力的培養，不應只是枯燥反覆的運算或解題練習，透過簡易且容易製作的「數字卡」，設計學童有興趣的活動，讓教學或練習轉變成小組討論、分組競賽的遊戲，可以幫助學生從遊戲動中，主動從和同學或共同溝通討論，建立數概念；並培養學生學習擬定數學問題，運用批判、分析等不同解題策略培養解決問題的能力。
貳、
方法與過程 ：
一、教材分析
「數學」是基礎教育最重要的一個學習領域，儘管近年發展許多資訊融入教學的教學設計、創意教學及教學影片等多元教學模式，用來幫助教師教學與學童自我學習。然而，從學童間的談論中仍發現，對於數學的學習興趣，依舊是年級愈高興趣越低。以現今的教科書內容來看，教材設計仍偏向強調數學的計算是算則的模仿和練習，雖然以生活情境問題為例題，但學童的學習內容強調單一算則的習得，習作和課後作業總是機械式的練習。數學教育仍擺脫不了背誦和填鴨式學習，不但無法建立基礎數學能力，更是會讓學童越來越討厭數學。
在五年級數學的課程中，「因數與倍數」是許多孩子普遍學習不佳的單元之一，而進一步細究其原因，則發現大部分學童對於因數與倍數的概念認知不清，概念之間彼此容易混淆，也因而造成許多學習障礙。根據個人以往的教學經驗，學生即使已學會求因數的數學技巧，許多學生仍然無法完整說明因數的意義。這是因為「因數」的概念相當抽象，在學生的生活經驗中也缺乏與因數概念結合的活動，對學生而言，它只是一個獨立於生活之外的數學名詞，教學時很難透過具體的活動讓學生真正理解因數的意義。以解題和運算的角度來說，求某一個數的因數時，不像加、減、乘、除或四則運算只是求得一個合理的答案，求因數必須逐一判斷或運算，以「窮盡」一個數可以被整除的所有情況，若有遺漏答案便殘缺不完整了。而求公因數更須兼顧每個數的因數，且能仔細觀察它們共同的因數。
同時，對於升上五年級的國小學童而言，因數是全新的概念，故部分學童學習因數時會存在若干迷思概念，以至於產生學習上的瓶頸。國小階段，因數皆以正整數討論，是為以一總量為起點，討論所組成的單位量。學習因數前，學童須熟練乘、除法等先備知識，又以整除概念尤其重要。對於乘、除法未達熟練情況的學童而言，求數字稍大的因數時，有其困難性。除此之外，在綜合認知運思能力、語意理解和生活經驗三個面向來說，因數概念是由整除定義而來，屬於二階層的抽象概念，況且定義因數時「被誰整除」或「整除誰」的語意，不僅產生語意理解的困擾，因倍數之間的相對關係也容易產生混淆(黃國勳，劉祥通2005)。
不少學者(林珮如，1992；陳清義，1996；劉伊祝，2009)提出學童在學習因數概念時，所出現的錯誤行為：計算錯誤、遺漏的情形；概念錯誤或混淆；對於文字題缺乏閱讀能力、理解錯誤。這些學者研究發現因數概念在國小五年級階段數學學習中至為重要，是以因數概念乃為學童日後學習等值分數、分數加減乘除的基礎，故讓學童在現階段能將因數概念學習製精熟程度實為重要。
因數教材的解題和計算確實較為繁雜。以因數的數學結構而言，學童能理解「3 是12 的因數」的意義，是將「12」看成是「3」的集聚單位，或是（3、3、3、3），且能將「3」是看成是「1」的集聚單位，或是（1、1、1）。也就是掌握了12 與構成此數的異於一的單位（3）之間的部份－全體關係，還能進一步的將部份（「3」）看成由其他的部份（「1」）所構成的子全體，從而掌握兩個階層的部份－全體關係。這樣的數學運思能力即為國內學者甯自強（1994）曾提出的測量運思（measurement operations）。然而，國小五年級學童的測量運思尚未發展完全，因此不易瞭解由單位量（因數）組成總數的意義（謝堅，1997）。所以因數單元的學習，學生存在不少的學習瓶頸（陳清義，1995）。許多中低程度的學生因為學習因數概念和算則失敗，加深了他們對數學課的排斥。若以因數教材的地位來看，因數概念對往後數學學習是重要的，它除了是等值分數的先備知識，也是比例概念的基石（劉祥通、周立勳，1999），更是往後學習因式、倍式、多項式、因式分解、數列與級數的重要基礎。學童若無法了解因數的意義，往後學習比較高階數學時，恐會產生新舊知識銜接困難的問題。因此，教師如何佈置一個有利的學習情境，幫助學生理解因數的意義，是一個可以努力的方向。
二、教學方法分析與課程概念架構圖
本次教學採用數字卡遊戲、討論、發表的方式，經由分組、競爭、合作等同儕互動，使學生主動學習，提高學習動機，並且擁有正向的數學態度。
目標 策略 評量
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基於因數教材對學生學習產生的困擾；同時，為結合補救教學概念與學習共同體體驗教學模式，本次教學觀摩設計將以此為主體，融入教學模式當中，嘗試以創新教學的精神發展因數教材的教學活動，希望將遊戲融入教學活動來引起學生的學習興趣，並結合學生的實際生活經驗做為教學的基礎，以幫助學生獲得完整的因數概念。
本次教學觀摩以五年級隨機選取班級對象，寄望相關教學設計能廣泛運用於教學現場當中，並以實驗性質展現學生學習成果。另外，教學前說明隨機抽取班級教師已完成該單元教學進度，同時在教學觀摩者尚未告知之狀態下進行完成，並無任何前測或對教學現場之影響。希望藉由不同教學模式展現對教學現場學習成效之檢視與進行相關的補救教學方式。教學過程當中，將以小組分組模式，結合學習共同體概念，呈現多元評量與學生相互討論教學的方式進行。
三、教學教案詳案設計
臺中市國民小學數學領域輔導團教學觀摩教案設計
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單元名稱
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因數與倍數
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適用年級
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五上
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課名稱
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數學
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教學時間
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40分鐘
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教材版本
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南一版本第9冊
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能力指標
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5-n-03 能理解因數和倍數。
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教學準備
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學生先備知識經驗：
1.了解整除概念。
2.理解因數概念。
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教具
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1.
數字卡
2.
學習單(多元評量)
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教學目標
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1.
理解整除概念。
2.
以數字卡進行找因數及公因數的遊戲，培養學生建立正確的因數概念
3. 從數字卡的遊戲中，熟練找出三個以上某數的因數。
4. 養成學生獨立思考、合作解題及解題監控、調整的能力。
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具體目標
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1-1 能進行整除心算。
2-1能運用數字卡排列因數
2-2能理解配對數字卡因數
3-1能完成所提問題，排出三個以上因數。
4-1能與同學討論完成解題
4-2能隨時檢驗因數關係是否正確並做調整
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具體目標
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教學內容
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時間
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評量方式
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教學資源
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1-1
2-1
2-2
4-1
4-2
2-1
2-2
3-1
4-1
4-2
2-1
2-2
3-1
4-1
4-2
4-1
4-2
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前置經驗
活動一： 心算大考驗
檢視整除心算：
下列題目何者可以整除：(並請說明原因)
可以請舉圈(雙手高舉)，不可以整除請舉叉(雙手交叉)
16÷4 20÷6
18÷9 42÷4
52÷1
18÷18
26÷13 38÷20 60÷15
27÷9
發展活動
活動二 數字卡大挑戰
教師：今天我們數學課不用數學課本，我們一起來玩數學。上個單元老師上完因數這個單元，老師想來問問各位，什麼是因數?
學生：能把一個數分完的數。
學生：就是能把一個整數整除的數，就是因數。
教師：很好，那我們就來玩一個數字卡大考驗
遊戲說明：
1.各組發下一組數字卡10張(0-9)
2.教師指定1個二位數，請各組學生輪流用數字卡排出1個該二位數的因數，各組排出的因數不可以重複。例如：二位數為72，各組數字卡可以排出的因數有1,2,3,4,6,8,9,12,18 ,24,36及72。
3.最後，統計各組所剩餘的數字卡張數：
剩下0-2張：得2分
剩下3-5張：得1分
剩下6張以上：得0分
4.接下來分別設計：35 63 81
5.統整概念：你發現什麼?
35：1，35 5，7
63：1，63 3，21
7，9
81：1，81 3，27
9
學生發現：可以配對找出因數。
6.繼續出題：27
50 49，完成學習單。
7.統計小組成績。
活動三：數字卡進階大挑戰
教師：很好，剛剛我們各組都完成挑戰。現在我們將進行進階PK賽。
遊戲規則：
1.先從第1組的數字卡中抽出2張數字卡合成第1個二位數放黑板，從第2組開始依序輪流用數字卡在黑板排出1個此二位數的因數，排出的因數不能重複，直到該數所有的因數都找出來為止。
2.再從第2組的數字卡抽出2張卡，合成第2個二位數，從第3組開始輪流，用數字卡排出1個此二位數的因數，直到該數所有的因數都找出來，或各玩家都無法用剩下的數字卡排出因數為止。
*各玩家排出的因數不能重複，剩下的數字卡無法排出此二位數的因數，就pass跳過換下一組。
3. 再從第3組剩下的數字卡抽出2張卡，合成第3個二位數，從第4組開始輪流，按照前面規則排出此二位數的因數。
4.按照前面規則，依序抽出第4個、第5個、…二位數，及各玩家輪流用數字卡排因數，直到玩家數字卡用完為止。
如輪到被抽的玩家只剩下1張時，則改為找該數字的因數。
5.遊戲中，最先將數字卡用完的玩家獲勝，並按照用完數字卡的順序排列名次。
6.最後，統計各組所剩餘的數字卡張數：
剩下0-1張：得3分
剩下2-3張：得2分
剩下4-5張：得1分
剩下6張以上：得0分
(規則說明完成後，開始進行PK活動，並統計分數)
綜合活動：
教師：最後，今天透過這樣的遊戲當中，我們發現怎樣讓牌最少?
學生：盡量找到較大的數字，可以整除。
教師：那有沒有發現什麼是王牌?
學生：1
教師：為什麼?
學生:因為他通通可以使用。
教師：沒錯，1與數字本身都是因數。就是我們學習的公因數。
最後，發給學生「數字卡排因數遊戲」個人學習單。教師以將0~9數字卡分成5個二位數的範例說明：請學生個人(2～3人)運用0~9數字卡10張，排出每一個二位數的因數1～3個，並將該數的因數記在二位數的下方( )中，10張數字卡要盡量用完。全班共同討論排出各數因數的可能性。
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3’
12’
15’
10’
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提示卡
學生發表
學生發表
完成學習單1
學生發表
學生發表
學生發表
學生發表
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自製數字卡
每組10張數字卡
學習單1
每組20張數字卡
學習單2
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「數字卡排因數」遊戲學習單(分組紀錄)
五年2班（ ）、（ ）、（ ） （ ）、（ ）、（ ）
題1：老師第一次取出 的牌。
我們這組出了（ ）牌
題2：老師第二次取出 的牌。
我們這組出了（ ）牌
題3：老師第三次取出 的牌。
我們這組出了（ ）牌
題4：老師第四次取出 的牌。
我們這組出了（ ）牌
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評分規準
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題1
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題2
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題3
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題4
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題5
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得分
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「數字卡排因數」遊戲學習單(個人)
請先在下面各題的 5個二位數，運用手上0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的20張數字卡，排出每一個二位數的因數1~3個，並將排出的因數記在二位數的下方( )中，20張數字卡要盡量用完。
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遊戲1：
5 4 3 8 2 0 7 6 9 1
( )
( ) (
) ( )
( )
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( )
( ) (
) ( )
( )
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( )
( ) (
) ( )
( )
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遊戲2：
7 8 9 2 1 0 6 5 3 4．
( )
( ) (
) ( )
( )
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( )
( ) (
) ( )
( )
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( )
( ) (
) ( )
( )
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遊戲3：
6 3 2 1 3 8 7 4 5 0．
( )
( ) (
) ( )
( )
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( )
( ) (
) ( )
( )
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( )
( ) (
) ( )
( )
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評量規準：
3分
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2分
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1分
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遊戲1
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遊戲2
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遊戲3
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參、
結語與建議
學習「因數」一開始，老師們常用古氏積木引導，使得學童容易學習20以內數字的因數，除此之外，對於大數字的因數，格式化的算則就常被使用。如何在數學課堂中安排有意義的遊戲替代單調的格式化算則的學習，讓學童在遊戲中可以精熟因數的找尋？因應12年國教，教育部啟動「教師專業發展行動年」，其中「多元評量理念與應用」更是重點項目之一，運用的方式包含紙筆測驗、實作評量、檔案評量、動態評量、遊戲化評量…等 (魏麗枝，2013) 。遊戲化評量基本上希望學童在遊戲中得到知識，在遊戲中評量成長。洪雪芬(2012)認為老師可從過關遊戲、分站遊戲中來評量學生達成預期學習目標的程度。因此，本次教學重點在於應用多元評量的理念，達成學童精熟因數解題之目的。同時，本教學即是透過簡易製作的「數字卡」，嘗試以數字卡的遊戲變化來進行教學設計，並融入多元評量之精神，期望學童能在團體遊戲、活動中得到愉快的經驗。從而體驗數字之美和數學學習的樂趣，強化其數感，維持對數學之學習興趣，使「因數教學」能更加順利。
肆、
參考文獻
林珮如(1992)。國小學生因數解題與迷思概念之研究。國立屏東師範學數理教育研究所士論文。
南一書局(2013)：國民小學第九冊數學。台南：南一書局。
洪雪芬(2012)。多元評量教學簡案範本。中央輔導團。
康軒文教(2013)：國民小學第九冊數學。台北：康軒文教事業。
陳清義（1995）。國小五年級學童因數、倍數問題學習瓶頸之研究。台北市立師範學院初等教育學系碩士論文（未出版）
甯自強（1994）。國小低年級兒童數概念之發展研究（Ⅰ）-「數概念」類型研究Ⅱ）。行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報（NSC-82-0111-S-023-001）
黃國勳、劉祥通(2005)。撲克牌融入因數教學之創意教學行動研究。教育研究集刊，51(1)，95-129。
葉盛昌(2003)。遊戲式數學教學模式對學生數學學習的影響。國立臺中師範學院數學教育學系在職進修教學碩士學位班碩士論文，未出版。
劉伊祝(2009)。從認知發展理論淺談小五因數與倍數單元之學習策略。國教之友，60(1)，54-59。
劉祥通、周立勳（1999）。國小比例問題教學實踐課程之開發研究。國立台中師範學院數理學報， 3（1），1-25。
謝堅（1997）：實驗課程中因數與倍數教材的設計。國立嘉義師範學院八十六學年度數學教育研討會論文暨會議實錄彙編。
魏麗枝(2013)：高層次認知紙筆評量設計─數學學習領域(ppt檔案)。台中數學領域輔導團。
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